Akıllı Not Detayı

9. Sınıf 2. Dönem 2. Matematik Yazılı Notları

Bu not, 9. sınıf 2. Dönem 2. matematik yazılı sınavına hazırlık amacıyla veri analizi, olasılık ve temel geometri konularını kapsamaktadır.

---

1. Veri Grubu Analizi

Bir veri grubunu analiz etmeden önce yapılması gereken ilk ve en önemli adım, verileri küçükten büyüğe doğru sıralamaktır. Bu sıralama sırasında tekrar eden tüm değerleri eksiksiz bir şekilde yazmalısınız, çünkü veri grubundaki adet sayısı Medyan, Alt Çeyrek ve Üst Çeyrek hesaplamaları için kritik öneme sahiptir.

<common-mistake>
Veri grubunu sıralarken tekrar eden sayıları atlamak veya sadece bir kez yazmak yaygın bir hatadır. Örneğin, {2, 3, 3, 4, 5} veri grubunda 3 sayısını sadece bir kez yazarsanız (örneğin {2, 3, 4, 5}), veri grubunun adet sayısını ve dolayısıyla medyan gibi değerlerini yanlış bulursunuz. Doğru olan, tekrar eden her sayıyı ayrı ayrı listelemektir.
</common-mistake>

1.1. Medyan (Ortanca Değer)

Medyan, sıralanmış bir veri grubunun tam ortasında yer alan değerdir.

Tek Sayıda Veri: Veri grubunda tek sayıda eleman varsa, ortadaki eleman doğrudan medyandır.
<example>
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13} gibi 11 elemanlı bir veri grubunda (sıralı), baştan ve sondan eşit sayıda eleman (5'er eleman) ayrıldığında ortada kalan 6. eleman (bu örnekte 7) medyandır.
</example>
Çift Sayıda Veri: Veri grubunda çift sayıda eleman varsa, ortadaki iki elemanın aritmetik ortalaması medyandır.
<example>
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} gibi 10 elemanlı bir veri grubunda, ortadaki 5. ve 6. elemanlar (bu örnekte 6 ve 7) alınır, medyan (6+7)/2 = 6.5 olur.
</example>

1.2. Alt Çeyrek (Q1) ve Üst Çeyrek (Q3)

Medyan bulunduktan sonra veri grubu biri altta, diğeri üstte olmak üzere ikiye ayrılır (medyan veri grubunun bir elemanıysa, alt ve üst gruplara dahil edilmez).

Alt Çeyrek (Q1): Medyanın altındaki veri grubunun (alt grup) medyanıdır.
Üst Çeyrek (Q3): Medyanın üstündeki veri grubunun (üst grup) medyanıdır.

<tip>
Eğer medyan, veri grubunun bir elemanı ise (tek sayılı veri grubunda olduğu gibi), alt ve üst grupları oluştururken bu medyan değeri gruplara dahil edilmez. Eğer medyan, ortadaki iki elemanın ortalaması ise (çift sayılı veri grubunda olduğu gibi), bu iki eleman alt ve üst gruplara ayrılır ve kendi grupları içindeki medyanları bulunurken kullanılır.
</tip>

1.3. Aritmetik Ortalama (AO)

Aritmetik ortalama, bir veri grubundaki tüm değerlerin toplamının, veri adedine bölünmesiyle elde edilir.

Hesaplama: `AO = (Tüm Veri Değerlerinin Toplamı) / (Veri Adedi)`

---

2. Kutu Grafiği (Box Plot) Çizimi

Kutu grafiği, bir veri grubunun dağılımını görsel olarak anlamak için kullanılan bir araçtır. Bir kutu grafiği çizmek için aşağıdaki beş değere ihtiyacımız vardır:

1. En küçük değer (minimum)
2. Alt Çeyrek (Q1)
3. Medyan (Q2)
4. Üst Çeyrek (Q3)
5. En büyük değer (maksimum)

Çizim Adımları:

1. Veri grubunu küçükten büyüğe sıralayın ve yukarıdaki beş değeri hesaplayın.
2. Uygun bir sayı doğrusu çizin.
3. Sayı doğrusu üzerine en küçük değerden en büyük değere kadar uzanan yatay bir çizgi çekin.
4. Alt çeyrek (Q1) ve üst çeyrek (Q3) noktalarına denk gelen yerlere dikey çizgiler çekerek bir kutu oluşturun. Bu kutu, verilerin %50'sini içerir.
5. Medyan (Q2) değerine denk gelen yere kutunun içine dikey bir çizgi çekin. Bu çizgi, verilerin ortasını gösterir.
6. En küçük değer ile alt çeyrek arasına ve üst çeyrek ile en büyük değer arasına yatay çizgiler (bıyıklar) çekin.

<example>
En küçük değer: 9
Alt Çeyrek (Q1): 10
Medyan (Q2): 13
Üst Çeyrek (Q3): 21
En büyük değer: 29

Sayı doğrusu üzerinde 9'dan 29'a bir çizgi çekilir. 10 ve 21 arasına bir kutu çizilir. Kutunun içine 13 hizasına bir çizgi çekilir. Son olarak, 9-10 ve 21-29 aralarına bıyıklar çizilir.
</example>

---

3. Veri Dağılımının Eğilimi (Trend)

Veri grubunun nasıl bir eğilim gösterdiğini anlamak için aritmetik ortalama ve medyan arasındaki ilişkiye bakılır.

Simetrik Dağılım: Eğer aritmetik ortalama ile medyan değerleri birbirine çok yakınsa veya eşitse, veri grubu simetrik bir dağılım gösterir. Bu durum, verilerin ortalama etrafında dengeli bir şekilde dağıldığı anlamına gelir ve genellikle aykırı değerlerin olmadığını düşündürür.

<common-mistake>
Veri dağılımı hakkında yorum yaparken, sadece aritmetik ortalamaya bakmak yanıltıcı olabilir. Medyan ve aritmetik ortalamanın karşılaştırılması, dağılımın simetrik olup olmadığını veya hangi yöne çarpık olduğunu anlamak için kritik öneme sahiptir.
</common-mistake>

Grafiklerle ifade edilen zaman serisi verilerinde (örneğin yıllara göre satış sayıları), veri dağılımının eğilimini yorumlarken genel artış, azalış ya da belirli bir döneme odaklanarak şu tarz yorumlar da yapılabilir:
"2017'den sonra satışlarda artan bir eğilim gözlemlenmiştir."
"2019'dan sonra daha üst düzeyde satışlar yapılmıştır."

---

4. Açıklık ve Eksik Değer Hesaplama

4.1. Açıklık (Range)

Bir veri grubunun açıklığı, veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.

Formül: `Açıklık = En Büyük Değer - En Küçük Değer`

4.2. Eksik Değer (M) ve Aritmetik Ortalamayı Etkisi

Veri grubunda bir veya daha fazla bilinmeyen değer (örneğin 'M') varsa ve açıklık verilmişse, M'nin alabileceği olası değerler bulunur.

M'nin alabileceği değerleri bulma senaryoları:
1. M veri grubunun en küçük değeri olsun: Bu durumda, veri grubundaki bilinen en büyük sayıdan M çıkarıldığında açıklık değerine eşit olur. `(En Büyük Bilinen Değer - M = Açıklık)`
2. M veri grubunun en büyük değeri olsun: Bu durumda, M'den veri grubundaki bilinen en küçük sayı çıkarıldığında açıklık değerine eşit olur. `(M - En Küçük Bilinen Değer = Açıklık)`

Bu iki senaryo genellikle M'nin alabileceği olası uç değerleri verir. Her bir M değeri için, veri grubundaki tüm sayıların M ile olan ilişkisine dikkat etmek önemlidir (eğer M en küçük kabul edildiyse, tüm sayılardan küçük veya eşit olmalı; en büyük kabul edildiyse, tüm sayılardan büyük veya eşit olmalı).

Aritmetik Ortalamanın En Az/En Çok Değerini Bulma:
M'nin alabileceği olası değerler bulunduktan sonra:
Aritmetik ortalamayı en az yapmak için, M'nin alabileceği en küçük geçerli değeri kullanırız.
Aritmetik ortalamayı en çok yapmak için, M'nin alabileceği en büyük geçerli değeri kullanırız.

<tip>
M'nin bir değerini bulduktan sonra, bu değerin veri grubundaki diğer sayılarla mantıksal olarak çelişmediğinden emin olun. Örneğin, eğer M'yi en küçük değer olarak kabul edip 7 bulduysanız, veri grubundaki diğer tüm sayılar 7'den büyük veya eşit olmalıdır (aksi halde açıklık değeri değişir). Bu kontrol, bulduğunuz değerin geçerliliğini teyit eder.
</tip>

---

5. Olasılık Hesaplamaları

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansının matematiksel bir ölçüsüdür.

5.1. Tüm Çıktılar (Örneklem Uzayı)

Bir deneyin tüm olası sonuçlarına tüm çıktılar veya örneklem uzayı denir. Tüm çıktıları eksiksiz listelemek, doğru olasılık hesabı için ilk adımdır.

<example>
Hilesiz 3 madeni paranın havaya atılmasında tüm çıktılar:
1. Yazı, Yazı, Yazı (YYY)
2. Yazı, Yazı, Tura (YYT)
3. Yazı, Tura, Yazı (YTY)
4. Tura, Yazı, Yazı (TYY)
5. Yazı, Tura, Tura (YTT)
6. Tura, Yazı, Tura (TYT)
7. Tura, Tura, Yazı (TTY)
8. Tura, Tura, Tura (TTT)
Toplam 8 farklı çıktı vardır. Tüm çıktıları yazarken sistematik bir yol izlemek (örneğin önce tüm Y'ler, sonra bir T ekleyerek T'nin yerini değiştirerek, sonra iki T ekleyerek T'nin yerini değiştirerek vb.) herhangi bir çıktının atlanmasını engeller.
</example>

5.2. Olasılık Değeri

Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm olası durumların sayısına oranlanmasıyla bulunur.

Formül: `Olasılık = (İstenen Olayın Gerçekleşme Sayısı) / (Tüm Olası Çıktıların Sayısı)`
<example>
Yukarıdaki 3 madeni para örneğinde "ikisinin yazı gelme olasılığı" sorulduğunda, istenen durumlar: YYT, YTY, TYY (3 farklı durum). Tüm durumlar 8 olduğu için olasılık 3/8'dir.
</example>

5.3. Tablo Kullanarak Olasılık (Karmaşık Olaylar)

Birden fazla bağımsız olayın gerçekleştiği durumlarda, tüm olası kombinasyonları tablo kullanarak görmek ve istenen durumları bulmak daha kolaydır.

<example>
1'den 4'e kadar numaralandırılmış düzgün dörtyüzlü (görünen yüzeylerin toplamı alınacak) ve hilesiz bir küp (zar, 1-6 arası sayılar) aynı anda atılıyor. Çarpımların 24 olma olasılığı:

1. Düzgün Dört Yüzlünün Görünen Yüzeyleri Toplamı:
4 en altta: Görünen yüzler 1, 2, 3 -> Toplam: 1+2+3 = 6
3 en altta: Görünen yüzler 1, 2, 4 -> Toplam: 1+2+4 = 7
2 en altta: Görünen yüzler 1, 3, 4 -> Toplam: 1+3+4 = 8
1 en altta: Görünen yüzler 2, 3, 4 -> Toplam: 2+3+4 = 9
(Dört yüzlünün olası sonuçları: 6, 7, 8, 9)

2. Küpün Üst Yüzüne Gelen Sayı: 1, 2, 3, 4, 5, 6

3. Tablo Oluşturma (Çarpımları):

| Dört Yüzlü | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :--------- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 |

4. Tüm Olası Sonuçlar: Tabloda 4 (dörtyüzlü) x 6 (küp) = 24 farklı sonuç vardır.

5. İstenen Durumlar (Çarpımın 24 olduğu): Tablo incelendiğinde, çarpımın 24 olduğu iki durum vardır:
Dörtyüzlüden 6, küpten 4 gelmesi (6x4=24)
Dörtyüzlüden 8, küpten 3 gelmesi (8x3=24)

6. Olasılık: (İstenen durum sayısı) / (Tüm durum sayısı) = 2 / 24 = 1/12.
</example>

<tip>
Tablo oluştururken düzenli ve okunaklı olmaya özen gösterin. Tüm kombinasyonları eksiksiz doldurduğunuzdan emin olun. Bu, hata yapma olasılığınızı azaltır.
</tip>
<common-mistake>
Çok yüzlü zarlar gibi farklı objelerin yüzeylerini veya çıktılarını karıştırmak ya da eksik hesaplamak, olasılık sonucunu direkt olarak yanlış yapar. Dört yüzlünün görünen yüzeyleri toplamı ayrı bir hesaplama gerektirir, normal zarın yüzeyleri doğrudan sayıdır.
</common-mistake>

---

6. Geometri Hatırlatması (Pisagor Teoremi ve Orta Nokta Uygulamaları)

Yazılıda önceki konulara dair soruların çıkabileceği göz önüne alındığında, temel geometri bilgileri önemlidir.

6.1. Dik Üçgen ve Pisagor Teoremi

Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün (dik açının karşısındaki kenar) uzunluğunun karesine eşittir. `a² + b² = c²`

Özel Dik Üçgenler: Bazı dik üçgenler, kenar uzunlukları arasında özel oranlara sahiptir ve bu oranları bilmek işlem hızını artırır:
3-4-5 üçgeni ve katları (6-8-10, 9-12-15 vb.)
5-12-13 üçgeni
8-15-17 üçgeni
7-24-25 üçgeni

6.2. Orta Nokta ve Paralel Çizimler

Geometri problemlerinde, verilen orta nokta bilgileri veya belirli uzunluklar üzerinden ek çizimler yaparak yeni dik üçgenler oluşturmak veya uzunlukları taşımak sıkça kullanılan bir problem çözme stratejisidir. Özellikle bir şekil içinde (örneğin yamukta) paralel doğrular çekmek, Pisagor teoremini uygulayabileceğiniz dik üçgenler ortaya çıkarabilir.

<example>
Bir yamukta, dik kenar olan 15 birimlik uzunluğu kullanarak, karşıya bir dikme indirilip bir dikdörtgen ve bir dik üçgen oluşturulabilir. Bu dikdörtgen sayesinde diğer kenarların uzunlukları taşınır ve kalan kısım için Pisagor uygulanabilir. Örneğin, bir kenarın orta noktasından diğer kenara doğru bir paralel çizgi çekmek, benzer üçgenler veya orta taban teoremi gibi özelliklerden faydalanmanızı sağlayabilir.
</example>

<tip>
Geometri sorularında verilen tüm uzunlukları, açıları ve orta nokta gibi bilgileri şekil üzerine net bir şekilde işaretleyin. Gerekirse, problemi basitleştirmek ve tanıdık geometrik şekiller (dik üçgen, dikdörtgen vb.) oluşturmak için ek çizgiler (paralel, dikme vb.) çizin. Bu, problemin görselleştirilmesine ve çözüm adımlarının belirlenmesine yardımcı olur.
</tip>