Akıllı Not Detayı

9. Sınıf Matematik 1. Dönem Tekrar Notları

Bu not, 9. sınıf matematik 1. dönem konularının kapsamlı bir tekrarını sunmaktadır. Video içeriği esas alınarak hazırlanmış olup, eksiklerinizi gidermek ve bilgilerinizi pekiştirmek için tasarlanmıştır.

1. Dönem Konu Başlıkları Genel Bakış

9. sınıf matematik birinci dönemde temel olarak iki ana tema üzerinde durulmuştur:

1. Sayılar Teması:
Üslü ve Köklü Gösterimler
Aralık Gösterimleri
Sayı Kümelerinin Özellikleri
Gerçek Sayıların İşlem Özellikleri (Sıralama, Kapalılık, Arada Olma)
Sembolik Matematik Dili
Özdeşlikler

2. Nicelikler ve Değişimler Teması:
Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri
Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri
Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Konular
Üçgenler (Yeni müfredatta okulların çoğunda bu konuya geçilemediği belirtilmiştir.)

---

I. Üslü Gösterimler

Üslü gösterim, bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasının kısa yoludur. $a^n$ şeklinde gösterilir ve $n$ tane $a$ sayısının çarpımı anlamına gelir.

Bilimsel Gösterim

Bilimsel gösterim, çok büyük veya çok küçük sayıları daha anlaşılır bir biçimde ifade etmek için kullanılır.
$a \times 10^n$ şeklinde gösterilir, burada:
$n$ bir tam sayıdır.
$a$ sayısı $1 \leq |a| < 10$ koşulunu sağlamalıdır. Yani $a$, 1 ile 10 arasında (1 dahil, 10 hariç) bir sayı olmalıdır. İşareti pozitif veya negatif olabilir.

<example>
$2,4 \times 10^8$ bir bilimsel gösterimdir. ($|2,4| < 10$ ve $8$ tam sayı)
$-2,4 \times 10^{-8}$ de bir bilimsel gösterimdir. ($|-2,4| < 10$ ve $-8$ tam sayı)
$1 \times 10^7$ (veya $10^7$) de bir bilimsel gösterimdir, çünkü $a=1$ koşulu sağlar.
</example>

<common-mistake>
Bilimsel gösterimde $a$ katsayısının 10'a eşit veya ondan büyük olması hatası sık yapılır. Unutulmamalıdır ki $a$ sayısı 10'dan küçüktür (ör: $10 \times 10^5$ bilimsel gösterim değildir, $1 \times 10^6$ olmalıdır). Ancak 1'e eşit olabilir.
</common-mistake>

Üslü İfadelerde Temel Kurallar

1. Çarpma İşlemi:
Tabanlar aynıysa: Üsler toplanır. Örnek: $a^x \times a^y = a^{x+y}$
Üsler aynıysa: Tabanlar çarpılır ve ortak üs yazılır. Örnek: $a^x \times b^x = (a \times b)^x$

2. Bölme İşlemi:
Tabanlar aynıysa: Payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. Örnek: $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$
Üsler aynıysa: Tabanlar bölünür ve ortak üs yazılır. Örnek: $\frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x$

3. Üssün Üssü: Bir üslü ifadenin üssü alındığında, üsler çarpılır. Örnek: $(a^x)^y = a^{x \times y}$
<tip>
$(x^n)^m = (x^m)^n$ eşitliği genellikle doğrudur. Ancak, eğer $x$ negatifse ve $n$ ile $m$ tek/çift olma durumları farklıysa, dikkatli olunmalıdır. Örneğin, $(-2^2)^3 = 4^3 = 64$ iken, $(-2^3)^2 = (-8)^2 = 64$ bu örnekte aynı sonuç vermiştir. Ancak bazen işaret farkı ortaya çıkabilir.
</tip>

4. Negatif Üs: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersini (takla attırmayı) ifade eder. Üssün negatif olması sayının değerinin negatif olduğu anlamına gelmez. Örnek: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

5. Toplama ve Çıkarma (Elma Muhabbeti): Üslü ifadelerle toplama veya çıkarma yapabilmek için taban ve üslerin aynı olması gerekir. Aynı olan ifadeler ortak paranteze alınır.
<example>
$x^n$ ifadesinden $a$ tane toplandı, $b$ tane toplandı, $c$ tane çıkarıldıysa: $a \cdot x^n + b \cdot x^n - c \cdot x^n = (a + b - c) \cdot x^n$ şeklinde ortak çarpan parantezine alınır.
</example>

Üslü Sayılar Uygulama Örnekleri

Örnek 1: İşlem Sorusu
$3^x = 4$ ise $9^{2x+1}$ kaçtır?
$9 = 3^2$ olduğundan ifadeyi $ (3^2)^{2x+1} $ olarak yazarız.
Üssün üssü kuralından $3^{2(2x+1)} = 3^{4x+2}$ olur.
$3^{4x+2} = 3^{4x} \times 3^2$ olarak ayırırız.
$3^{4x} = (3^x)^4$ olarak yazılabilir.
$3^x = 4$ olduğu için, $(4)^4 \times 3^2 = 256 \times 9 = 2304$.

Örnek 2: Sıralama Sorusu
$x = 4^{48}$, $y = 9^{32}$, $z = (5^2)^{24}$ sayılarını sıralayın.
Öncelikle $z$ ifadesini düzenleyelim: $z = 5^{2 \times 24} = 5^{48}$.
Şimdi üsleri eşitleme yoluna gidelim. 48, 32, 48 sayılarının en büyük ortak böleni 16'dır.
$x = 4^{3 \times 16} = (4^3)^{16} = 64^{16}$
$y = 9^{2 \times 16} = (9^2)^{16} = 81^{16}$
$z = 5^{3 \times 16} = (5^3)^{16} = 125^{16}$ (Video'da $(5^2)^{24}$ yerine $5^{24}$ kullanmış, sonra $z = 5^{3 \times 16}$ olarak düzeltilmiştir. İzleyenlerin kafası karışmasın, videodaki $5^{24}$ aslında $z=5^{48}$ olmalıdır, yani $z = (5^2)^{24}$ ifadesindeki $5^2$ yerine 5 olsaydı $5^{24}$ olurdu.)
Üsler eşit olduğunda, tabanı büyük olan sayı daha büyüktür (pozitif sayılar için).
$64^{16} < 81^{16} < 125^{16}$
Yani $x < y < z$.

Basamak Sayısı Bulma

Bir sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için, sayıyı $a \times 10^n$ şeklinde yazmaya çalışırız.
$10^n$ sayısının basamak sayısı $n+1$'dir (1 ve n tane sıfır).
Eğer $a \times 10^n$ şeklinde ise, $a$'nın basamak sayısı ile $n$ toplanır.

<example>
$10^7$ sayısı: 1 (başında)+ 7 (sıfır) = 8 basamaklıdır.
$16 \times 10^5$: $16$ (2 basamaklı) + $5$ (sıfır) = 7 basamaklıdır (yani $1600000$).
</example>

---

II. Köklü Gösterimler

Köklü ifadeler, üslü ifadelerin özel bir halidir. $a^{m/n}$ üslü ifadesi, $n$. dereceden kök içinde $a^m$ olarak gösterilir: $\sqrt[n]{a^m}$. Burada $n$ kökün derecesi, $m$ ise kök içindeki sayının üssüdür.

Kökün Derecesi ve İçi

Kökün derecesi çift ise ($n$ çift): Kökün içi negatif olamaz. Yani $\sqrt[n]{x}$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için $x \geq 0$ olmalıdır.
Kökün derecesi tek ise ($n$ tek): Kökün içi herhangi bir reel sayı olabilir ($x \in \mathbb{R}$).

<common-mistake>
Çift dereceli köklerin içini negatif yapma hatası sık yapılır. Örneğin $\sqrt{-4}$ bir reel sayı değildir.
</common-mistake>

Kökten Çıkarma Kuralları

$\sqrt[n]{a^n}$ ifadesinde:
$n$ tek ise: $a$ olarak çıkar. (Örn: $\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$)
$n$ çift ise: $|a|$ olarak çıkar. (Örn: $\sqrt[4]{(-2)^4} = |-2| = 2$)
<tip>
Çift dereceli köklerden dışarıya negatif bir sayı çıkamaz. Bu yüzden mutlak değer kullanılır. Tek dereceli köklerde bu kısıt yoktur.
</tip>

Köklü İfadelerde İşlemler

1. Çarpma ve Bölme İşlemi: Kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler çarpılırken veya bölünürken, kök içindeki sayılar çarpılır veya bölünür ve ortak kök derecesiyle yazılır.
Örnek: $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$ ve $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

2. Kök İçinde Kök: Bir köklü ifadenin içinde başka bir köklü ifade varsa, kök dereceleri çarpılır.
Örnek: $\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[k \times n]{a}$

3. Toplama ve Çıkarma (Elma Muhabbeti): Kök dereceleri ve kök içleri aynı olan köklü ifadeler arasında toplama veya çıkarma yapılabilir. Kök dışındaki katsayılar toplanıp çıkarılır.
Örnek: $a\sqrt[n]{x} + b\sqrt[n]{x} - c\sqrt[n]{x} = (a+b-c)\sqrt[n]{x}$

4. Genişletme ve Sadeleştirme: Bir köklü ifadenin kök derecesini ve kök içindeki sayının üssünü aynı pozitif tam sayı ile çarpmak veya bölmek ifadenin değerini değiştirmez. Bu işlem genellikle kök derecelerini eşitlemek veya sıralama yapmak için kullanılır.
Örnek: $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \times k]{a^{m \times k}}$

Köklü Sayılar Uygulama Örnekleri

Örnek 1: Tanım Kümesi ve Değer Bulma
$\sqrt{x-9} + \sqrt[3]{x+18} + \sqrt[4]{9-x}$ ifadesinin değeri kaçtır?
Çift dereceli köklerin içleri $(\sqrt{x-9}$ ve $\sqrt[4]{9-x})$ sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
$x-9 \geq 0 \Rightarrow x \geq 9$
$9-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 9$
Bu iki koşulun sağlanabilmesi için tek bir değer vardır: $x=9$.
$x=9$ yerine koyarsak:
$\sqrt{9-9} = \sqrt{0} = 0$
$\sqrt[3]{9+18} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$ (Tek kök dışına direk çıkar)
$\sqrt[4]{9-9} = \sqrt[4]{0} = 0$
İfade değeri: $0 + 3 + 0 = 3$.

Örnek 2: Köklü Sayılarda Dört İşlem
$\frac{\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}}{\sqrt{0.02 \times 0.08}}$ işleminin sonucunu bulun.
Payı düzenleyelim:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
Pay: $5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (5-3+2)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
Paydayı düzenleyelim:
$\sqrt{0.02 \times 0.08} = \sqrt{\frac{2}{100} \times \frac{8}{100}} = \sqrt{\frac{16}{10000}}$
$\sqrt{\frac{16}{10000}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{10000}} = \frac{4}{100}$
Sonuç: $\frac{4\sqrt{2}}{\frac{4}{100}} = 4\sqrt{2} \times \frac{100}{4} = 100\sqrt{2}$.

Eşlenik Kavramı

Paydayı rasyonel hale getirmek için eşlenik ile çarpma işlemi yapılır.
Paydada $\sqrt{x}$ varsa, $\sqrt{x}$ ile çarpılır. ($\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x$)
Paydada $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ veya $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ varsa, iki kare farkı özdeşliğinden faydalanılır.
Eşleniği $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ ise $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ ile çarpılır: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$

Örnek: Eşlenik Uygulaması
$\frac{5}{\sqrt{5}-1} - \frac{1}{\sqrt{5}+1}$ işleminin sonucunu bulun.
İlk terimi $(\sqrt{5}+1)$ ile, ikinci terimi $(\sqrt{5}-1)$ ile eşlenik çarpımı yaparız:
$\frac{5(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} - \frac{1(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}$
$\frac{5\sqrt{5}+5}{5-1} - \frac{\sqrt{5}-1}{5-1}$
$\frac{5\sqrt{5}+5}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{4}$
Ortak paydada birleştirme ve çıkarma:
$\frac{5\sqrt{5}+5 - (\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{5\sqrt{5}+5-\sqrt{5}+1}{4}$
$\frac{4\sqrt{5}+6}{4} = \frac{2(2\sqrt{5}+3)}{4} = \frac{2\sqrt{5}+3}{2}$

Köklü Sayılarda Sıralama

Kök dereceleri farklı olan köklü ifadeleri sıralamak için, kök dereceleri eşitlenir. Ardından, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır.
<common-mistake>
Negatif köklü sayılar sıralanırken, önce pozitifmiş gibi sıralayıp sonra sıralama yönünü tersine çevirmek gerekir.
</common-mistake>

Örnek: Köklü Sayılarda Sıralama (Negatif)
$a = -\sqrt[6]{7}$, $b = -\sqrt{3}$, $c = -\sqrt[3]{2}$ sayılarını sıralayın.
Önce pozitif hallerini düşünelim: $\sqrt[6]{7}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{2}$
Kök derecelerinin (6, 2 (karekök olduğu için), 3) ortak katı 6'dır. Tüm dereceleri 6 yapalım:
$\sqrt[6]{7}$ zaten 6. dereceden.
$\sqrt{3} = \sqrt[2 \times 3]{3^{1 \times 3}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \times 2]{2^{1 \times 2}} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4}$
Pozitif hallerinin sıralaması: $\sqrt[6]{4} < \sqrt[6]{7} < \sqrt[6]{27}$ yani $c < a < b$.
Negatif sayılarda sıralama tersine döner: $-b < -a < -c$ yani $- \sqrt{27} < -\sqrt{7} < -\sqrt{4}$.
Buna göre $b < a < c$.

---

III. Aralık Gösterimleri

Aralık gösterimleri, sayı doğrusundaki belirli bir aralıktaki tüm gerçek sayıları ifade etmenin bir yoludur.

Aralık Çeşitleri ve Gösterimleri

1. Açık Aralık: Uç noktalar dahil değildir. $(a,b)$ veya $a < x < b$ şeklinde gösterilir. Sayı doğrusunda boş daire ile ifade edilir.
2. Kapalı Aralık: Uç noktalar dahildir. $[a,b]$ veya $a \leq x \leq b$ şeklinde gösterilir. Sayı doğrusunda dolu daire ile ifade edilir.
3. Yarı Açık Aralık: Bir uç nokta dahil, diğeri değildir. $(a,b]$ ($a < x \leq b$) veya $[a,b)$ ($a \leq x < b$) şeklinde gösterilir.

<example>
$(-3, 2\sqrt{5}]$ : Yarı açık aralıktır, $-3$ dahil değil, $2\sqrt{5}$ dahil.
$(-7, 3\sqrt{2})$ : Açık aralıktır, $-7$ ve $3\sqrt{2}$ dahil değil.
$[a,b]$ : Kapalı aralıktır, $a$ ve $b$ dahildir.
</example>

Aralık Üzerindeki İşlemler

Aralıklar üzerinde birleşim ($\cup$), kesişim ($\cap$), fark ($\setminus$) ve tümleyen ($'$) işlemleri yapılabilir. Bu işlemler genellikle sayı doğrusu üzerinde görselleştirilerek daha kolay anlaşılır.

Birleşim ($A \cup B$): $A$ veya $B$'de bulunan tüm elemanları içerir.
Kesişim ($A \cap B$): Hem $A$ hem de $B$'de bulunan ortak elemanları içerir.
Fark ($A \setminus B$): $A$'da olup $B$'de olmayan elemanları içerir.
Tümleyen ($A'$): Belirli bir evrensel kümede (genellikle $\mathbb{R}$) $A$'da olmayan tüm elemanları içerir. $A' = \mathbb{R} \setminus A$.

Örnek: Aralık İşlemleri
$A = [-\frac{7}{3}, 4]$ ve $B = [-3\sqrt{2}, \frac{21}{4})$ kümeleri için aşağıdaki işlemleri yapın.
Önce sayıların yaklaşık değerlerini bulalım:
$-\frac{7}{3} \approx -2.33$
$4$
$-3\sqrt{2} \approx -3 \times 1.41 = -4.23$
$\frac{21}{4} = 5.25$

Sayı doğrusunda yaklaşık yerleştirmeler:
$A = [-2.33, 4]$
$B = [-4.23, 5.25)$

1. $A \cup B$ (Birleşim):
İki aralığın en solundaki ve en sağındaki uç noktaları alarak birleşim kümesini oluştururuz.
$A \cup B = [-3\sqrt{2}, \frac{21}{4})$. ( $A$ kümesi, $B$ kümesinin bir alt kümesi olduğu için birleşim $B$ kümesi olacaktır.)

2. $A \cap B$ (Kesişim):
İki aralığın çakıştığı bölümdür.
$A \cap B = [-\frac{7}{3}, 4]$.

3. $A \setminus B$ (A fark B):
$A$'da olup $B$'de olmayan elemanlar.
Bu örnekte $A$ tamamen $B$'nin içinde bir bölümdür. Dolayısıyla $A$'da olup $B$'de olmayan hiçbir eleman yoktur.
<example>
$A \setminus B = \emptyset$ (boş küme)
</example>

4. $B \setminus A$ (B fark A):
$B$'de olup $A$'da olmayan elemanlar.
$B \setminus A = [-3\sqrt{2}, -\frac{7}{3}) \cup (4, \frac{21}{4})$.
İlk parça: $B$'nin sol tarafındaki $A$'da olmayan kısım.
İkinci parça: $B$'nin sağ tarafındaki $A$'da olmayan kısım. $4$ dahil olduğu için $B \setminus A$ tarafında $4$ açık, $21/4$ zaten açıktı.

5. $B'$ (B'nin Tümleyeni):
Reel sayılar kümesinden $B$ kümesini çıkarırız.
$B = [-3\sqrt{2}, \frac{21}{4})$. Tümleyeni:
$(-\infty, -3\sqrt{2}) \cup [\frac{21}{4}, \infty)$.
Dikkat: $B$'deki kapalı uç noktalar tümleyende açık, açık uç noktalar tümleyende kapalı olur.

---

IV. Mutlak Değer Fonksiyonları

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığını ifade eder. Her zaman pozitif veya sıfırdır. $|x|$ ile gösterilir.

Mutlak Değerli Eşitsizliklere Çevirme

Bir aralığı veya aralık dışını mutlak değerle ifade etmek için iki yöntem vardır.

Yöntem 1 (Formül):
Verilen bir $[a,c]$ veya $(a,c)$ aralığını $|x-k| \leq r$ ya da $|x-k| < r$ şeklinde yazmak için:
$k = \frac{a+c}{2}$ (aralığın orta noktası)
$r = \frac{c-a}{2}$ (aralığın yarı uzunluğu)
Eşitlikler dahilse $\leq$, değilse $<$ kullanılır.

<tip>
Mutlak değer $x$'in $k$'ye olan uzaklığının $r$'den küçük/eşit olduğunu ifade eder.
</tip>

Yöntem 2 (Uzaklık Prensibi):
Aradaki değerler için: $a \le x \le c$ ise $|x - \frac{a+c}{2}| \le \frac{c-a}{2}$.
Dışındaki değerler için: $x \le a$ veya $x \ge c$ ise $|x - \frac{a+c}{2}| \ge \frac{c-a}{2}$.

Örnek 1: Aralık İfadesini Mutlak Değere Çevirme
Sağlıklı bir insanın açlık kan şekeri 70-100 mg/dL aralığındadır. Bu aralığı mutlak değerli eşitsizlik olarak gösterin.
Aralığımız $[70, 100]$.
Orta nokta: $k = \frac{70+100}{2} = \frac{170}{2} = 85$.
Yarı uzunluk: $r = \frac{100-70}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
Mutlak değerli ifade: $|A - 85| \leq 15$. (Sınırlar dahil olduğu için $\leq$ kullandık.)

Örnek 2: Aralık Dışı İfadesini Mutlak Değere Çevirme
$x \leq -\frac{9}{4}$ veya $x \geq -\frac{7}{8}$ eşitsizliğini mutlak değerli eşitsizlik olarak gösterin.
Sınırlar $-\frac{9}{4}$ ve $-\frac{7}{8}$. Payda eşitleyelim: $-\frac{18}{8}$ ve $-\frac{7}{8}$.
Orta nokta: $k = \frac{-\frac{18}{8} + (-\frac{7}{8})}{2} = \frac{-\frac{25}{8}}{2} = -\frac{25}{16}$.
Yarı uzunluk: $r = \frac{-\frac{7}{8} - (-\frac{18}{8})}{2} = \frac{\frac{11}{8}}{2} = \frac{11}{16}$.
Mutlak değerli ifade: $|x - (-\frac{25}{16})| \geq \frac{11}{16} \Rightarrow |x + \frac{25}{16}| \geq \frac{11}{16}$. (Sınırlar dahil olduğu için $\geq$ kullandık ve "veya" durumu olduğu için büyük eşit seçtik.)

Mutlak Değer Fonksiyonlarının Grafiği ve Nitelikleri

Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri, belirli dönüşümlerle çizilir. Genel olarak, $y = |f(x)|$ şeklindeki bir fonksiyonun grafiğini çizmek için $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği çizilir, sonra $x$ ekseninin altında kalan kısmı $x$ eksenine göre simetrik olarak yukarı katlanır.

Adım Adım Grafik Çizimi ve Nitelik Belirleme

Örnek: $g(x) = -|3x-6| + 3$ fonksiyonu

1. Temel Fonksiyon: $f(x) = 3x-6$
$x=0$ için $y=-6$ (y eksenini kestiği nokta)
$y=0$ için $3x-6=0 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2$ (x eksenini kestiği nokta)
Bu düz bir doğrudur, eğimi 3'tür. Negatif bölgeden başlar, pozitif bölgeye çıkar.

2. Mutlak Değer Alma: $h(x) = |3x-6|$
$f(x) = 3x-6$ grafiğinin $x$ ekseninin altında kalan kısmını ($x<2$ için) $x$ eksenine göre yukarı katlarız.
$y$ eksenini -6'da kesen nokta +6'ya çıkar. $x=2$ noktası sabit kalır. Grafikten bir "V" şekli oluşur.

3. Eksi ile Çarpma: $k(x) = -|3x-6|$
$h(x)$ grafiğinin tamamını $x$ eksenine göre simetrik olarak aşağıya katlarız.
$y$ eksenini +6'da kesen nokta -6'ya iner. Grafikten bir "ters V" şekli oluşur.

4. Sabit Ekleme: $g(x) = -|3x-6| + 3$
$k(x)$ grafiğinin tamamını 3 birim yukarıya ötelemektir.
$y$ eksenini -6'da kesen nokta -3'e çıkar (-6+3 = -3).
Grafiğin tepe noktası $x=2$ iken $y=0$ idi, şimdi $x=2$ iken $y=3$ olur ($0+3=3$).

Nitelikleri Belirleme:

Fonksiyonun Sıfırları ($x$ eksenini kestiği noktalar):
$g(x) = 0 \Rightarrow -|3x-6| + 3 = 0 \Rightarrow |3x-6| = 3$
$3x-6 = 3 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$
$3x-6 = -3 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$
Sıfırları $x=1$ ve $x=3$'tür.

Fonksiyonun İşaretleri:
Pozitif olduğu aralık (grafik $x$ ekseninin üzerinde olduğu yer): $(1, 3)$ aralığı.
Negatif olduğu aralık (grafik $x$ ekseninin altında olduğu yer): $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. (1 ve 3 noktaları sıfır olduğu için dahil edilmez.)

Artan/Azalan Aralıklar:
Grafiğin eğiminin pozitif olduğu, yani yükseldiği kısımlar: $(-\infty, 2]$. (Veya $(-\infty, 2)$)
Grafiğin eğiminin negatif olduğu, yani alçaldığı kısımlar: $[2, \infty)$. (Veya $(2, \infty)$)
<common-mistake>
Artan ve azalan aralıkların uç noktaları bazen açık, bazen kapalı gösterilir. Milli Eğitim kitaplarında farklı yorumlar bulunabilir. Genellikle kritik nokta (burada $x=2$) her iki aralığa da dahil edilmez.
</common-mistate>

Y eksenini kestiği nokta: $x=0$ için $g(0) = -|3(0)-6| + 3 = -|-6| + 3 = -6 + 3 = -3$.
Nokta $(0, -3)$'tür.

Bire-birlik durumu: Yatay doğru testi uygulandığında grafik birden fazla noktada kesiliyor. Bu nedenle mutlak değer fonksiyonları genellikle birebir değildir. Bu fonksiyon da birebir değildir.

Görüntü Kümesi: Fonksiyonun alabileceği $y$ değerlerinin aralığı.
Grafiğin en tepesi $x=2$ noktasında $y=3$ iken, grafik her iki tarafa doğru aşağıya sonsuza gitmektedir. O zaman görüntü kümesi: $(-\infty, 3]$.

---

V. Sayı Kümelerinin Özellikleri ve Cebirsel İfadeler

Sayılarda Sıralama Özellikleri

1. Eşitlik: $a \leq b$ ve $b \leq a$ ise $a = b$.
2. Geçişme: $a < b$ ve $b < c$ ise $a < c$.
3. Toplama/Çıkarma: Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak eşitsizliğin yönünü değiştirmez. $(a < b \Rightarrow a+c < b+c)$
4. Pozitif Sayıyla Çarpma/Bölme: Pozitif bir sayıyla çarpma veya bölme eşitsizliğin yönünü değiştirmez. $(a < b \text{ ve } c > 0 \Rightarrow ac < bc)$
5. Negatif Sayıyla Çarpma/Bölme: Negatif bir sayıyla çarpma veya bölme eşitsizliğin yönünü değiştirir. $(a < b \text{ ve } c < 0 \Rightarrow ac > bc)$
<tip>
Bu kural çok önemlidir ve sıkça hata yapılır. Negatif bir sayıyla işlem yapıldığında eşitsizliğin yönünü daima ters çevirmeyi unutmayın.
</tip>
6. Ters Çevirme (Çarpmaya Göre Ters):
Eğer $a$ ve $b$ aynı işaretli ise (ikisi de pozitif veya ikisi de negatif) ve $a < b$ ise, $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ olur (eşitsizlik yön değiştirir).
Eğer $a$ ve $b$ zıt işaretli ise, eşitsizlik yön değiştirmez. (Örn: $-2 < 3 \Rightarrow -1/2 < 1/3$)
<tip>
Sayıların işaretlerine dikkat edin. Genellikle öğrenciler ters çevirmede hep yön değiştireceğini düşünür, ancak bu sadece sayıların aynı işaretli olduğu durumlarda geçerlidir.
</tip>
7. Pozitif Üstler: $a < b$ ise $a^n < b^n$ (genellikle $n$ pozitif tek sayı veya $a,b$ pozitif ise). Dikkatli olunmalıdır, örneğin $(-3)^2 = 9$ ve $(-2)^2 = 4$ iken $-3 < -2$ olmasına rağmen $9 > 4$ olur.

Arada Olma Özelliği

İki farklı sayı arasında o sayı kümesine ait başka bir sayı olup olmadığını ifade eder.
Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$) ve Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): İki doğal sayı veya tam sayı arasında her zaman başka bir doğal sayı veya tam sayı bulunmayabilir (örneğin, 2 ile 3 arasında doğal sayı yok).
Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$) ve Reel Sayılar ($\mathbb{R}$): İki farklı rasyonel sayı veya reel sayı arasında her zaman sonsuz çoklukta başka bir rasyonel veya reel sayı vardır.

Kapalılık Özelliği

Bir kümedeki herhangi iki eleman, belirli bir işlem altında kullanıldığında sonuç yine o kümenin elemanı oluyorsa, o küme o işleme göre kapalıdır denir.

| İşlem | Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$) | Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$) | Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$) | Reel Sayılar ($\mathbb{R}$) |
| :---- | :--------------------------- | :------------------------- | :----------------------------- | :-------------------------- |
| Toplama | Kapalıdır | Kapalıdır | Kapalıdır | Kapalıdır |
| Çıkarma | Kapalı değildir (örn: 2-5=-3) | Kapalıdır | Kapalıdır | Kapalıdır |
| Çarpma | Kapalıdır | Kapalıdır | Kapalıdır | Kapalıdır |
| Bölme | Kapalı değildir (örn: 2/3) | Kapalı değildir (örn: 2/3) | Kapalıdır (0 hariç) | Kapalıdır (0 hariç) |

Sembolik Matematik Dili

Matematikte bazı ifadeler sembollerle ifade edilir:

$\forall$: Her (Evrensel Niteleyici)
$\exists$: Bazı / Vardır (Varoluşsal Niteleyici)
$\wedge$: Ve (Mantık Bağlacı)
$\vee$: Veya (Mantık Bağlacı)
$\Rightarrow$: İse (Koşullu Önerme)
$\Leftrightarrow$: Ancak ve ancak (Çift Yönlü Koşullu Önerme)
$\in$: Elemanı
$\mathbb{R}$: Reel sayılar kümesi

Örnek 1: Sözelden Semboliğe Çevirme
"a ve b gerçek sayıların çarpımlarının değeri negatif ise a ya da b negatiftir."
Sembolik gösterim: $(\forall a,b \in \mathbb{R}), (a \cdot b < 0 \Rightarrow (a < 0 \vee b < 0))$

Örnek 2: Sembolikten Sözele Çevirme
$\forall a \in \mathbb{R}, a \neq 0, \exists b \in \mathbb{R} \text{ öyle ki } a \cdot b = 1$.
Sözel ifade: "Sıfırdan farklı her $a$ gerçek sayısı için, çarpımını 1 yapan en az bir $b$ gerçek sayısı vardır." (Veya "Bazı $b$ gerçek sayıları vardır.")

---

VI. Özdeşlikler

Özdeşlikler, değişkenlerin tüm değerleri için daima doğru olan cebirsel ifadelerdir.

Tam Kare Özdeşlikleri

1. Toplamın Karesi: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. Farkın Karesi: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
<tip>
Tekrar: "Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi." Aradaki işaret (+) ise $+2ab$, (-) ise $-2ab$ olur.
</tip>

İki Kare Farkı Özdeşliği

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Özdeşlikler Kullanım Örnekleri

Örnek 1: Tam Kare ve İki Kare Farkı Uygulaması
Alanı $4x^2 + 12x + 9$ olan kare şeklindeki bir bahçenin köşesine, kenarları $x+1$ ve $x+5$ olan bir dikdörtgen ayrılmıştır. Buna göre havuzun alanı nedir?
Bahçenin alanı $4x^2 + 12x + 9$. Bu ifade bir tam karedir: $(2x+3)^2$.
$(2x)^2 = 4x^2$
$3^2 = 9$
$2 \times (2x) \times 3 = 12x$
Demek ki, bahçenin bir kenarı $2x+3$ birimdir.
Havuzun kenarları, bahçenin bir kenarından ayrılan parçalardır.
Bir kenarı: $(2x+3) - (x+1) = 2x+3-x-1 = x+2$
Diğer kenarı: $(2x+3) - (x+5) = 2x+3-x-5 = x-2$
Havuzun alanı, $(x+2)(x-2)$ ifadesinin çarpımıdır. Bu da iki kare farkı özdeşliğidir.
Havuzun alanı: $(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Köklü Sayılarda Tam Kare (İç İçe Kökler)

Özel bir tam kare durumu, iç içe köklü ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanılır:
$\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ şeklinde bir ifade varsa, $B = m \times n$ ve $A = m+n$ olacak şekilde $m$ ve $n$ sayıları bulunabilirse,
$\sqrt{A + 2\sqrt{B}} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$
$\sqrt{A - 2\sqrt{B}} = |\sqrt{m} - \sqrt{n}|$ (genellikle $m > n$ seçilir, böylece mutlak değerden kurtuluruz)

Örnek: İç İçe Köklü Sayılarda Tam Kare
$\sqrt{11 + \sqrt{112}}$ işleminin sonucunu bulun.
Önce $\sqrt{112}$ ifadesini $2\sqrt{B}$ formatına getirelim: $\sqrt{112} = \sqrt{4 \times 28} = 2\sqrt{28}$.
Şimdi ifade $\sqrt{11 + 2\sqrt{28}}$ halini aldı.
Toplamı 11, çarpımı 28 olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar 7 ve 4'tür. ($7+4=11$, $7 \times 4 = 28$).
O zaman ifade: $\sqrt{7} + \sqrt{4}$ olarak sadeleşir.
$\sqrt{7} + \sqrt{4} = \sqrt{7} + 2$.

---

VII. Doğrusal Fonksiyonlar

Birinci dereceden polinom fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. $f(x) = ax + b$ şeklinde ifade edilirler.
$a$: Fonksiyonun eğimini verir. Grafiğin dikliğini veya yatıklığını belirler.
$b$: Fonksiyonun $y$ eksenini kestiği noktayı verir ($x=0$ için $y=b$).
Fonksiyonun sıfırı: x eksenini kestiği noktadır ($y=0$ için $ax+b=0 \Rightarrow x = -b/a$).

Grafik Çizimi ve Öteleme/Dönüşüm

Bir doğrusal fonksiyonun grafiği, $f(x)=x$ referans fonksiyonu kullanılarak öteleme ve gerilme/sıkıştırma işlemleriyle çizilebilir.

1. $f(x) = x$ (Referans Fonksiyon): Köşegen üzerinde ilerleyen, orijinden geçen düz bir çizgi.
2. $f(x) \mp c$ (Düşey Öteleme): Fonksiyonun grafiğini $c$ birim yukarı ($+$) veya aşağı ($-$) kaydırır.
3. $k \cdot f(x)$ (Düşey Gerilme/Sıkıştırma): $f(x)$ fonksiyonunun $x$ eksenine göre gerilme/sıkıştırılması. $x$ eksenini kestiği nokta sabit kalır, $y$ eksenini kestiği nokta ve eğim değişir.

Örnek: $f(x) = -\frac{1}{3}(x-2) + 1$ fonksiyonunun grafiği

1. $y = x$ ile başla.
2. $y = x-2$ (2 birim aşağı öteleme): Kırmızı grafikten 2 birim aşağı kayar, y eksenini -2'de, x eksenini 2'de keser. Eğimi hala 1'dir.
3. $y = -\frac{1}{3}(x-2)$ (Katsayı ile çarpma): Bu adımda $x=2$ noktası sabit kalır (çünkü $(2-2)=0$). $y$ eksenini kestiği nokta $-2 \times (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$ olur. Doğrunun eğimi $-\frac{1}{3}$'e döner (sola yatık).
4. $y = -\frac{1}{3}(x-2) + 1$ (1 birim yukarı öteleme): Önceki grafiği 1 birim yukarı kaydırır. $y$ eksenini kestiği nokta $\frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$ olur.
Fonksiyonun sıfırları: $-\frac{1}{3}(x-2) + 1 = 0 \Rightarrow -\frac{1}{3}(x-2) = -1 \Rightarrow x-2 = 3 \Rightarrow x = 5$.
$x$ eksenini $5$'te keser.

---

VIII. Uygulama Problemleri

Doğrusal fonksiyonlar, birçok gerçek dünya problemini modellemek için kullanılır. Özellikle sabit değişim oranına sahip durumlar (hız, dolma/boşalma, maliyet vb.) doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilir.

Örnek: Depo Dolumu Problemi

Bir parktaki ağaçları sulamak için 110 litre kapasiteli bir depo var. Deponun sabit hızla akan bir hortumla doldurulmaktadır. Deponun içindeki su miktarı, hortum açılıp su akıtmaya başladıktan sonra:
3 saatte 38 litre oluyor.
7 saatte 54 litre oluyor.

Bu bilgilere göre:
1. Depoda biriken su miktarının zamana bağlı değişimini ifade eden doğrusal fonksiyonu yazın.
2. Deponun tamamen dolması durumunda tanım ve görüntü kümesini bulun.
3. Zamana karşı grafiğini çizin.

Çözüm:

1. Doğrusal fonksiyonu bulma:
3 saatte 38L, 7 saatte 54L. Zamandaki değişiklik $7-3=4$ saat, su miktarındaki değişiklik $54-38=16$ litredir.
Hortumun debisi (akış hızı) = Su değişimi / Zaman değişimi = $16 \text{ L} / 4 \text{ saat} = 4 \text{ L/saat}$. Bu bizim fonksiyonumuzun eğimi ($a$) olacaktır.
Fonksiyonumuz $f(x) = 4x + b$ şeklindedir. ($x$ saat, $f(x)$ litre cinsinden su miktarıdır.)
Başlangıçtaki su miktarını ($b$) bulmak için verilen noktalardan birini kullanalım (örneğin 3. saatte 38 L):
$38 = 4 \times 3 + b$
$38 = 12 + b \Rightarrow b = 26$
Dolayısıyla doğrusal fonksiyon: $f(x) = 4x + 26$. (Depoda başlangıçta 26 litre su varmış.)

2. Tanım ve görüntü kümesi:
Tanım kümesi: Hortumun açıldığı andan (0. saat) deponun tamamen dolduğu ana kadar geçen süreyi kapsar.
Depo 110 litre kapasitelidir. Ne zaman dolar?
$110 = 4x + 26$
$84 = 4x \Rightarrow x = 21$ saat.
Tanım kümesi (zaman): $[0, 21]$.
Görüntü kümesi: Depodaki su miktarının başlangıçtan tam dolduğu ana kadar aldığı değerleri kapsar.
$x=0$ için $f(0) = 4(0) + 26 = 26$ litre (başlangıç su miktarı).
$x=21$ için $f(21) = 4(21) + 26 = 84 + 26 = 110$ litre (tam dolu depo).
Görüntü kümesi (su miktarı): $[26, 110]$.

3. Zamana karşı grafiği:
$x$ ekseni (yatay) zamanı (saat), $y$ ekseni (düşey) su miktarını (litre) gösterir.
Grafik $y$ eksenini $26$ noktasında keser (0. saatte 26 litre su).
Grafik $x=21$ saatte $y=110$ litre noktasına ulaşır.
Bu iki noktayı birleştiren düz bir doğru çizeriz. Bu doğru üzerindeki $3.$ saatte $38$ litre ve $7.$ saatte $54$ litre noktalarını da işaretleyebiliriz.

<tip>
Problemlerin çözümünde eksik kaldığınızı düşünüyorsanız Tonguç Akademi'nin ilgili konu videolarını tekrar izleyin ve bolca pratik yapın. Özellikle geometri konularına (üçgenler) geçilmediyse bile, eksik kalan önceki konuların testlerini tamamlamak önemlidir.
</tip>